Связь и различие между преобразованиями Фурье, Лапласа и Z

Я немного запутался в этих темах. Они все начали выглядеть одинаково для меня. Кажется, что они обладают такими же свойствами, как линейность, смещение и масштабирование, связанные с ними. Я не могу представить их отдельно и определить цель каждого преобразования. Кроме того, какой из них используется для частотного анализа?

Я не смог найти (с Google) полный ответ, который затрагивает эту конкретную проблему. Я хочу, чтобы они сравнивались на одной странице, чтобы я мог иметь определенную ясность.

37 голосов | спросил Vineet Kaushik 25 +04002013-10-25T17:55:27+04:00312013bEurope/MoscowFri, 25 Oct 2013 17:55:27 +0400 2013, 17:55:27

6 ответов


55

Преобразования Лапласа и Фурье являются непрерывными (интегральными) преобразованиями непрерывных функций.

Преобразование Лапласа отображает функцию \ $ f (t) \ $ в функцию \ $ F (s) \ $ комплексного переменного s , где \ $ s = \ sigma + j \ Omega \ $.

Так как производная \ $ \ dot f (t) = \ frac {df (t)} {dt} \ $ переходит в \ $ sF (s) \ $, то преобразование Лапласа линейного дифференциального уравнения является алгебраическим уравнение. Таким образом, преобразование Лапласа полезно, среди прочего, для решения линейных дифференциальных уравнений.

Если мы установим действительную часть комплексной переменной s в ноль, \ $ \ sigma = 0 \ $, то результатом будет преобразование Фурье \ F (j \ omega) \ $, которое по существу представляет собой представление частотной области of \ $ f (t) \ $ (заметим, что это верно, только если для этого значения \ $ \ sigma \ $ формула для получения преобразования Лапласа от \ $ f (t) \ $ существует, т. е. не переходит в бесконечность).

Трансформация Z по существу является дискретной версией преобразования Лапласа и, таким образом, может быть полезна при решении уравнений difference , дискретной версии дифференциальных уравнений . Преобразование Z преобразует последовательность \ $ f [n] \ $ в непрерывную функцию \ F (z) \ $ комплексной переменной \ $ z = re ^ {j \ Omega} \ $.

Если установить значение z равным единице, \ $ r = 1 \ $, результатом будет Дискретное преобразование Фурье (DTFT) \ $ F (j \ Omega) \ $, которое является, по существу, представлением частотной области \ $ f [n] \ $.

ответил Alfred Centauri 25 +04002013-10-25T19:15:19+04:00312013bEurope/MoscowFri, 25 Oct 2013 19:15:19 +0400 2013, 19:15:19
12

Преобразования Лапласа можно считать супер-множеством для CTFT. Вы видите, что на ROC, если корни передаточной функции лежат на мнимой оси, т. Е. Для s = σ + jÏ ‰, σ = 0, как упоминалось в предыдущих комментариях, проблема преобразований Лапласа сводится к преобразованию Фурье непрерывного времени , Чтобы немного перемотать назад, было бы полезно узнать, почему преобразования Лапласа развивались в первую очередь, когда у нас были преобразования Фурье. Видите ли, сходимость функции (сигнала) является обязательным условием существования преобразования Фурье (абсолютно суммируемого), но есть также сигналы в физическом мире, где невозможно иметь такие конвергентные сигналы. Но поскольку анализ их необходим, мы делаем их сходящимися, умножая на него монотонно убывающую экспоненту е ^ К, что делает их сходящимися по самой своей природе. Этому новому σ + jÏ ‰ присвоено новое имя ', которое мы часто заменяем как «jÏ ‰» для ответа синусоидальных сигналов причинных систем LTI. В s-плоскости, если ROC преобразования Лапласа покрывает мнимую ось, тогда это преобразование Фурье будет всегда существовать, так как сигнал будет сходиться. Именно эти сигналы на мнимой оси содержат периодические сигналы e ^ jÏ ‰ = cos Ï ‰ t + j sin Ï ‰ t (по Эйлеру).

Точно так же z-преобразование является расширением DTFT, чтобы, во-первых, сделать их сходящимися, во-вторых, сделать нашу жизнь намного проще. Легко иметь дело с z, чем с e ^ jÏ ‰ (установка r, радиус круга ROC как untiy).

Кроме того, вы с большей вероятностью будете использовать преобразование Фурье, которое лапласа для сигналов, которые не являются причинами, потому что преобразования Лапласа значительно облегчают жизнь при использовании в качестве односторонних (односторонних) преобразований. Вы можете использовать их и с обеих сторон, результат будет таким же, как и с некоторыми математическими вариациями.

ответил Anshul 30 +04002013-10-30T15:21:17+04:00312013bEurope/MoscowWed, 30 Oct 2013 15:21:17 +0400 2013, 15:21:17
8

Преобразования Фурье предназначены для преобразования /представления изменяющейся во времени функции в частотной области.

Преобразование лапласа состоит в том, чтобы преобразовать /представлять изменяющуюся во времени функцию в «области целостности»

Z-преобразования очень похожи на laplace, но являются дискретными преобразованиями интервала времени, ближе для цифровых реализаций.

Все они выглядят одинаково, потому что методы, используемые для преобразования, очень похожи.

ответил JonRB 25 +04002013-10-25T18:38:56+04:00312013bEurope/MoscowFri, 25 Oct 2013 18:38:56 +0400 2013, 18:38:56
0

Я попытаюсь объяснить разницу между преобразованиями Лапласа и Фурье на примере, основанном на электрических цепях. Итак, предположим, что у нас есть система, которая описывается известным дифференциальным уравнением, скажем, например, что у нас есть общая схема RLC. Также предположим, что общий переключатель используется для включения или выключения цепи. Теперь, если мы хотим изучить схему в устойчивом состоянии синусоиды, мы должны использовать преобразование Фурье. В противном случае, если наш анализ включает включение или выключение схемы, мы должны реализовать преобразование Лапласа для дифференциальных уравнений.

Другими словами, преобразование Лапласа используется для изучения переходной эволюции реакции системы от начального состояния до конечного устойчивого синусоидального состояния. Он включает не только переходное явление из исходного состояния системы, но и конечное синусоидальное устойчивое состояние.

ответил jfasoulas 23 Maypm17 2017, 23:24:48
0

Различные инструменты для разных заданий. Еще в конце шестнадцатого века астрономы начали делать неприятные расчеты. Сначала были вычислены логарифмы для преобразования умножения и деления на более легкое сложение и вычитание. Точно так же преобразования Лапласа и Z превращают неприятные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения, которые у вас есть шанс решить. Фурье-серии изначально были изобретены для решения теплового потока в кирпичах и других дифференциальных уравнениях с частными производными. Применение к вибрационным струнам, трубкам органов и анализу временных рядов было позже.

ответил richard1941 4 Maypm18 2018, 16:31:31
-1

В любой системе LTI для вычисления передаточной функции мы используем только преобразование laplace вместо преобразования fierier или z, потому что в fourier мы получаем ограниченный вывод, он не переходит в бесконечность. И преобразование z используется для дискретных сигналов, но LTI-системы являются непрерывными сигналами, поэтому мы не можем использовать z-преобразование. Поэтому, используя преобразование лапласа, мы можем вычислить передаточную функцию любой системы LTI.

ответил Nitesh Kumar Sharma 11 thEurope/Moscowp30Europe/Moscow09bEurope/MoscowMon, 11 Sep 2017 11:41:53 +0300 2017, 11:41:53

Похожие вопросы

Популярные теги

security × 330linux × 316macos × 2827 × 268performance × 244command-line × 241sql-server × 235joomla-3.x × 222java × 189c++ × 186windows × 180cisco × 168bash × 158c# × 142gmail × 139arduino-uno × 139javascript × 134ssh × 133seo × 132mysql × 132